Concepto de Límite

Límites de una Función

1  Concepto de límite de una función:

Este se refiere a las imágenes de elementos x, del dominio de una función dada, al acercarse a un cierto valor, cuando estos elementos x están próximos a un determinado número real a.

  

Esto se lee así:

    Límite de f de x  cuando x tiende al valor de a es igual a L

    

    La definición afirma que los valores de f (x) están tan cercanos del número L siempre que x este cerca de a (por cualquiera de los lados).  

    La interpretación geométrica es la siguiente:

Entonces,

Esto significa que para ɛ > 0 dada (sin importar que tan pequeña sea esta), existe una correspondiente δ>0 tal que |fx-L|<ɛ, siempre que 0<|x-c|<δ, es decir 

 0<|x-c|<δ    =>      |fx-L|<ɛ

Ejemplo:

 

0<|x-c|<δ   => |fx-L|<ɛ

       0<|x-4|<δ   => |3x-7--5|<ɛ

                          |3x-12|<ɛ

                               |3(x-4)|<ɛ

                                                                                       3|(x-4)|<ɛ

                                |(x-4)|<ɛ /3

δ  =ɛ /3

Ejemplo:

 Ejercicios:

 

Explicándolo a través de un ejemplo, cuando alguien se ve en el espejo 

 ¿Cuantas imágenes  aparecen en el espejo?  

    Esto es una función, puesto que solo se aprecia una imagen, sin embargo, en un día con autoestima alta al verse en el espejo apreciamos el parecido con algún famos@ (esto es un límite). 

     Para que valores se utiliza el concepto principalmente para los que llamo valores vampiros, no tienen imagen en el espejo.   

    Cómo resuelven el problema??

      … usando los límites, ellos de las películas se pintan retratos, mientras que a los números, estudiamos  a los parecidos a ellos de tal modo que se asemejen mucho a él. 

 Ej  9,99 es muy parecido a 10

2  Límites por aproximación 

Para resolver el siguiente límite se 

    En la siguiente tabla, se muestran algunos valores de pares ordenados, obtenidos a partir la regla de la correspondencia de la función, para resolver el límite anterior, este procedimiento es por aproximación.

 

x	2	2,5	2,8	2,9	2,99	2,999	3	3,001	3,01	3,1	3,2	3,5	4
F(x)	5	5,5	5,8	5,9	5,99	5,999	6	6,001	6,01	6,1	6,2	6,5	7

según la tabla anterior se puede inferir que el resultado es 6, aunque previamente dio indeterminado.

 Resolviendo por factorización se comprueba el resultado anterior.

 

3  Propiedades de los límites 

1.- Si f(x) = x  (función  identidad), para cualquier valor de x   

 2.-Si f(x) = c  (función  constante), para cualquier valor de x 

Si L, M y c y k son números reales y

3.- Regla de la suma

El límite de la suma de las funciones es igual a la suma de sus límites.

4.- Regla de diferencia

El límite de la diferencia de las funciones es igual a la diferencia de sus límites.

5.- Regla del producto

        El límite del producto  de las funciones es igual al producto de sus límites.

6.- Regla del múltiplo constante

        limite de una constante multiplicada por una función es la constante por el límite de la función.

7.- Regla del cociente

     El límite de un cociente es igual al cociente de sus límites, siempre y cuando el denominador sea distinto de cero.

8.-  Regla de la potencia, si r y s son números enteros sin factores comunes y es distinto de cero

   El límite de una potencia racional de una función es el límite de la función elevado a esa potencia, siempre y cuando esta última sea un número real.

9.- Regla de logaritmo.

      El límite de un logaritmo de una función es el logaritmo del limite de la función, se aplica para cualquier función logarítmica.

10.- Regla de la potencia de funciones.

Ejemplo 1:

  









Ejemplo 2:

 














Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

En este enlace puedes encontrar algunos ejercicios (click aquí)