Aplicaciones de las derivadas (optimización)

Optimización

Ejercicios de optimización

1.- Una compañía de transporte desea alquilar autobuses solamente a grupos de 35 o más personas. Si un grupo contiene exactamente 35 personas, cada uno paga Bs 60.- Sin embargo, en grupos grandes, la tarifa para todos reduce  en 50 céntimos por persona  que pasa de 35. ¿Qué tamaño de grupo producirá los mayores ingresos?

2.- Un distribuidor puede obtener del fabricante un bien a un costo de Bs. 3.- cada uno. El distribuidor calcula que puede vender 200 unidades del bien a un precio unitario de Bs 15.-  y que podrá vender 10 unidades adicionales, por cada reducción de Bs 0.50 en el precio
 ¿A qué precio  debe vender cada bien para que su utilidad sea máxima?

3.-  El fabricante de cierto artículo tiene costos fijos de Bs. 5500.- mensuales. Determinar además que sus costos variables mensuales  están dados por

-0.02 x² +50 x

Donde x representa el número de artículos que produce.

Calcular que silos vende  a p bolívares  podrá vender 2000-10p artículos al mes.

•     Determinar el precio para el cual la ganancia obtenida es máxima 
•      Determinar canto es esa ganancia máxima.

4.- Un editor decide imprimir las páginas de un libro con márgenes superior e inferior de una pulgada cada uno, y de media pulgada para los laterales.

Sin embargo, está tratando  de variar las dimensiones de la página, sujeto a la condición de que el área total de la página debe ser de 50 pulgadas cuadradas.

¿Qué dimensiones de página maximizarán su área impresa?

5.- De acuerdo al ejercicio anterior, tomando como márgenes una pulgada en un lado y dos en el otro, con el objeto de permitir  espacio para la encuadernación. Mantenga los márgenes superior e inferior en una pulgada. Si el área de la página debe seguir siendo 50 pulgadas cuadradas, encuentre las dimensiones óptimas.

6.- Suponiendo que los costos totales de un fabricante están dados por

C(x)=1600+20x+0.01 X².

 Para x mayores o iguales a cero, siendo x la cantidad de unidades de producto.

 ¿Para qué nivel de producción por unidad es mínimo?

7.- Un hacendado está interesado en adquirir un lote de terreno rectangular que se encuentra ubicado a la orilla de un río. Dicho terreno debe tener un área de 10000 m². La siguiente figura muestra  un esquema del terreno donde se ha identificado con x el lado que da al río,  y  representa la profundidad del terreno (ambos medidos en metros).

El propietario actual   del terreno exige un precio de Bs 500.- por metro a lo largo del río y 
Bs 200.- de profundidad lejos del río. El hacendado está interesado en el costo  mínimo de la unidad de producción.

8.- Una compañía petrolera está planeando construir un tubería para suministrar petróleo desde la planta principal a un punto donde el petróleo será cargado por tanqueros  y transportados a la refinería. La figura muestra la localización de la planta principal  A y el punto de destino C. Los puntos A y C están sobre los lados opuestos de un río que tiene 2.5 Km de ancho: Además, el punto C se encuentra a 100 Km al oeste de A a lo largo del río.

La compañía petrolera propone una tubería que vaya hacia el oeste, a lo largo del río y en algún punto x lo cruce hasta alcanzar el punto C. Los costos de producción son de Bs.  1.000.000.-    por kilómetro a lo largo del cauce del río y Bs. 2.000.000.- para la sección que lo atraviesa. Determinar la ubicación del punto x, para que los costos de construcción de la tubería  sean mínimos.

9.- Un empresario piensa abrir un gran supermercado para abastecer las necesidades de tres ciudades con idéntica población.  La siguiente figura muestra la ubicación relativa de dichas ciudades.

10.- Una pequeña compañía petrolera ha decidido instalar una nueva planta de refinería cuyo costo de compra, instalación y prueba es de Bs, 25.000.000.-. El valor salvado de este equipo viene dado por

S(x)= 21.000.000 - 5.000 x

Donde x representa el número de días de operación del equipo,  el costo de la misma promedio es estimado por

O (x)=400 + 0.20 x

   a)      Determinar cuántos días deberá  ser operado el equipo antes de ser reemplazado.

  b)      ¿Cuántos es el costo total del equipo, para el momento en que debe ser sustituido?

c) ¿Cuánto es el valor salvado esperado?

11.- Cierta empresa vende 300 unidades semanales de determinado artículo a un precio de Bs. 75.- cada uno. Por cada bolívar que disminuye el precio, logra vender 30 unidades adicionales por semana. Si la empresa le cuesta Bs. 47.- adquirir cada unidad. Determinar en cuanto tendría que disminuir el precio de venta de dicho artículo a fin de maximizar su ganancia.

12.- Una papelería cobra Bs 20.- por cada libreta de notas, si se les compran 10 o menos. Si se les ordena más de 10, entonces   el precio de cada una reduce en Bs. 0.50 por cada libreta de 10.

A)¿Cuántas libretas deberían ser vendidas a una misma persona, con el fin de maximizar el ingreso de esa venta?

B) Si el costo de cada libreta es de 10, determinar cuántas de ellas deberían ser vendidas  para lograr máximas ganancias.

13.- Un pasteurizador de leche requiere de 325.00 envases de plástico para yogur. El costo de solicitar, recibir y colocar un pedido es de Bs. 19.500.-. El costo de almacenar 100 envases durante un año es de solo Bs. 12..- ¿Cuántos envases deberán solicitar en cada pedido?

14.- Cierta refinería petrolera pequeña, procesa solamente 50 millones de barriles de petróleo  al año. Si el costo de solicitar, recibir y colocar un pedido es de $ 2.500 y el costo de almacenar un barril durante un año es de $ 0.25, determine el tamaño de cada pedido.

Guía de ejercicios resueltos.